Calculer $$\int^A_2\frac1{t(\ln t)^\beta}\,dt$$ pour \(A\geqslant2\) et en déduire les valeurs de \(\beta\) pour lesquelles l'intégrale généralisée \(\int^{+\infty}_2\frac1{t(\ln t)^\beta}\,dt\) converge

Calcul par changement de variable \(\to\) conclusion

$$=\int^A_2\frac{(\ln t)^\prime}{(\ln t)^\beta}\,dt=\left\{\begin{array}{c} u=\ln t\\ t=2\to u=\ln 2\\ t = A \to u=\ln A\end{array}\right\}=\int ^A_{\ln 2}\frac1{u^\beta}\,du$$
L'intégrale est donc convergente si et seulement si \(\beta\gt 1\)

(Théorème des équivalents (Intégrales impropres), Intégrale de Riemann (Convergence), Intégrale - Intégration (Changement de variable))

Déterminer la nature de $$\int^{+\infty}_2\frac1{t^\alpha(\ln t)^\beta}\,dt$$ selon les valeurs de \(\alpha\neq1\)

Majoration
Si \(\beta\geqslant0\), on a : $$\frac1{t^\alpha(\ln t)^\beta}\leqslant\frac1{t^\alpha}$$

Cas \(\beta\lt 0\)
Si \(\beta\lt 0\), on a $$\frac1{t^\alpha(\ln t)^\beta}=\frac{(\ln t)^{\lvert\beta\rvert}}{t}$$

Majoration par une intégrale de Riemann
On fixe \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(\alpha-\varepsilon\gt 1\) : $$=\frac{(\ln t)^{\lvert\beta\rvert}}{t^\varepsilon}\times\frac1{t^{\alpha-\varepsilon}}\leqslant\frac C{t^{\alpha-\varepsilon}}$$ l'intégrale est donc convergente par comparaison avec une intégrale de Riemann convergente

Si \(\alpha\lt 1\), \(\int^{+\infty}_2\frac1{t^\alpha(\ln t)^\beta}\,dt\) diverge car \(\frac1{t^\alpha(\ln t)^\beta}\,dt\geqslant\frac{(\ln 2)^{\lvert\beta\rvert}}{t^2}=\frac C{t^2}\), qui diverge

Si \(\beta\gt 0\), on fixe \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(\alpha+\varepsilon\lt 1\)
Alors \(\frac1{t^\alpha(\ln t)^\beta}\,dt\leqslant\frac1{t^{\alpha+\varepsilon}}\), donc l'intégrale diverge

Déterminer la nature de l'intégrale généralisée $$\int^{1/2}_0\frac1{t^\alpha\lvert\ln t\rvert^\beta}\,dt$$

Cas \(\alpha=1\) : changement de variable
Cas \(\alpha=1\) : $$\int^{1/2}_0\frac1{t\lvert\ln t\rvert^\beta}\,dt=\left\{\begin{array}{}u=\ln t& t=\frac12\to u =\ln(\frac12)=-\ln2\\ du=\frac1t{dt}&t = 0\to u=-\infty\end{array}\right\}=\int^{-\ln2}_{-\infty}\frac1{\lvert u\rvert^\beta}\,du$$

Changement de variable pour changer le signe (ne pas oublier de changer l'ordre des bornes) \(\to\) intégrale de Riemann
$$\int^{-\ln2}_{-\infty}\frac1{(-u)^\beta}\,du=\left\{\begin{array}{}x= -u&u=-\ln2\to x=\ln2\\ dx=-du&u = -\infty\to x=+\infty\end{array}\right\}=\int_{\ln2}^{+\infty}\frac1{x^\beta}\,dx$$
L'intégrale est donc convergente pour \(\alpha=1\) si et seulement si \(\beta\gt 1\)

Cas \(\alpha\lt 1\) et \(\beta\geqslant0\) : majoration par une intégrale de Riemann convergente
Cas \(\alpha\lt 1\) et \(\beta\geqslant0\) : $$\frac1{t^\alpha\lvert\ln t\rvert^\beta}\leqslant\frac1{t^\alpha}\quad\text{ et }\quad\int^{1/2}_0\frac1{t^\alpha}\,dt\quad\text{ converge}$$

Cas \(\alpha\lt 1\) et \(\beta\lt 0\) : croissances comparées pour majorer par une intégrale de Riemann convergente
Cas \(\alpha\lt 1\) et \(\beta\lt 0\) :
On fixe \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(\alpha+\varepsilon\lt 1\) $$\frac{\lvert \ln t\rvert^{\lvert\beta\rvert}}{t^\alpha}=\frac{t^\varepsilon\lvert\ln t\rvert^{\lvert\beta\rvert}}{t^{\alpha+\varepsilon}}\leqslant\frac C{t^{\alpha+\varepsilon}}\quad\text{ et }\quad C\int^{1/2}_{0}\frac1{t^{\alpha+\varepsilon}}\,dt\quad\text{ converge}$$

Cas \(\alpha\gt 1\) et \(\beta\lt 0\) : minorer par une intégrale de Riemann divergente
Cas \(\alpha\gt 1\) et \(\beta\lt 0\) :
$$\frac1{t^\alpha\lvert\ln t\rvert^\beta}=\frac{\lvert\ln t\rvert^{\lvert\beta\rvert}}{t^\alpha}\geqslant\frac1{t^\alpha}\quad\text{ et }\quad\int^{1/2}_0\frac1{t^\alpha}\,dt\quad\text{ diverge}$$

Cas \(\alpha\gt 1\) et \(\beta\geqslant0\) : minorer par une intégrale de Riemann divergente

Cas \(\alpha\gt 1\) et \(\beta\geqslant0\) :
On fixe \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(\alpha-\varepsilon\gt 1\)
$$\frac1{t^\alpha\lvert\ln t\rvert^\beta}=\frac1{t^{\alpha-\varepsilon}}\underbrace{\frac{t^\varepsilon}{t^\varepsilon\lvert\ln t\rvert^\beta}}_{\underset{t\to0^+}\longrightarrow+\infty}\geqslant\frac1{t^{\alpha-\varepsilon}}\quad\text{ et }\quad\int^{1/2}_0\frac1{t^{\alpha-\varepsilon}}\,dt\quad\text{ diverge}$$

(Logarithme népérien - Logarithme naturel (Opposé), Intégrale de Riemann)